Question

高三（1）班和高三（2）班各已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；③先胜两盘的队获胜，比赛结束．已知每盘比赛双方胜出的概率均为

1

2

．
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率为多少？
（Ⅲ）设高三（1）班代表队获胜的盘数为ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）本题要应用分步计数原理，先排出参加单打的队员，由于代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛，排出参加双打的队员，根据分步计数原理得到结果．
（2）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜．根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式，得到结果．
（3）因为高三（1）班代表队获胜的盘数为ξ，由于先胜两盘的队获胜比赛结束，得到变量的可能取值，类似于第二问得到概率，写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）由题意知参加单打的队员有A₃²种方法，参加双打的队员有C₂¹种方法．
∴根据分步计数原理得到
高三（1）班出场阵容共有A₃²•C₂¹=12（种）．
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜．
∴连胜两盘的概率为

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

3

8

.
（Ⅲ）ξ的取值可能为0，1，2．
P(ξ=0)=

1

2

×

1

2

=

1

4

．
P(ξ=1)=

1

2

×

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

4

．
P(ξ=2)=

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

2

.
∴ξ的分布列为

∴Eξ=0×

1

4

+1×

1

4

+2×

1

2

=

5

4

．

点评：本题是一个综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．