题目内容
在四棱锥
中，底面
是正方形，
与
交于点
底面
，
为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，在线段
上是否存在点
，使
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
（1）详见解析；（2）
为线段
的中点时，
平面
，理由详见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用三角形的中位线定理证明
，然后根据线面平行的判定定理进行证明即可；（2）这是存在性问题，先假设存在点
，使得
平面
，依据面面垂直的判定定理可知，这时必有面
面
，此时应该在平面
中可以找到一条直线垂直平面
，这时关注好题目中的条件：底面
为正方形且
面
，此时可想到可能是
面，这个垂直关系并不难证明，故可肯定点
是存在的，然后再根据题中所给的条件去确定边
与
的比例关系，最后根据
为直角三角形且
可确定
的比值.
试题解析：（1）证明：连接
由四边形
是正方形可知，点
为
的中点
又
为
的中点，所以
又
平面
，
平面
所以
平面
6分
(2)解法一：若
平面
，则必有
于是作
于点
由
底面，所以
，又底面
是正方形
所以
，又
，所以
平面
10分
而
平面
，所以
又
，所以平面 12分
又
，所以
所以
为
的中点，所以
14分
解法二：取
的中点
，连接
，在四棱锥
中
，
，所以
6分
又由
底面
，
底面，所以
由四边形是正方形可知，
又
所以
平面
10分
而
平面
所以，平面
平面
，且平面
平面
因为
，
平面，所以
平面
12分
故在线段
上存在点
，使
平面
由
为的中点，得
14分.
考点：1.空间中的平行关系；2.空间中的垂直关系.
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