题目内容

11.证明:“双勾函数”f(x)=ax+$\frac{b}{x}$(a>0,b>0):在 (-∞,-$\sqrt{\frac{b}{a}}$],[$\sqrt{\frac{b}{a}}$,+∞)上单调递增,在[-$\sqrt{\frac{b}{a}}$,0),(0,$\sqrt{\frac{b}{a}}$]上单调递减.

分析 方法1:求函数的导数,利用导数进行证明函数的单调性即可.
方法2:利用函数单调性的定义进行证明.

解答 解:函数的导数f′(x)=a-$\frac{b}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$,
由f′(x)>0得$\frac{a{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$>0,即ax2-b>0,即x2>$\frac{b}{a}$,解得x>$\sqrt{\frac{b}{a}}$或x<-$\sqrt{\frac{b}{a}}$,此时函数单调递增,
由f′(x)<0得$\frac{a{x}^{2}-b}{{x}^{2}}$<0,即ax2-b<0,即x2<$\frac{b}{a}$,解得-$\sqrt{\frac{b}{a}}$<x<$\sqrt{\frac{b}{a}}$且x≠0,此时函数单调递减,
即函数f(x)在 (-∞,-$\sqrt{\frac{b}{a}}$],[$\sqrt{\frac{b}{a}}$,+∞)上单调递增,在[-$\sqrt{\frac{b}{a}}$,0),(0,$\sqrt{\frac{b}{a}}$]上单调递减.
方法2:定义法:
设x1<x2
则f(x1)-f(x2)=ax1+$\frac{b}{{x}_{1}}$-ax2-$\frac{b}{{x}_{2}}$=a(x1-x2)+$\frac{b({x}_{2}-{x}_{1})}{{x}_{1}{x}_{2}}$=(x1-x2)(a-$\frac{b}{{x}_{1}{x}_{2}}$)=(x1-x2)$\frac{a{x}_{1}{x}_{2}-b}{{x}_{1}{x}_{2}}$,
∵x1<x2
∴x1-x2<0,
若0<x1<x2<$\sqrt{\frac{b}{a}}$,则0<x1x2<$\frac{b}{a}$,则0<ax1x2<b,-b<ax1x2-b<0,
则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此时函数单调递减.
若$\sqrt{\frac{b}{a}}$<x1<x2,则x1x2>$\frac{b}{a}$,则ax1x2>b,ax1x2-b>0,
则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),此时函数单调递增.
同理当在 (-∞,-$\sqrt{\frac{b}{a}}$]上单调递增,在[-$\sqrt{\frac{b}{a}}$,0)上单调递减.

点评 本题主要考查函数单调性的判断,利用导数法是解决本题的关键.

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