题目内容
已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.（1）求数列{bn}的通项bn；
（2）设数列{an}的通项an=loga(1+
)(其中a＞0，且a≠1)，记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与
logabn+1的大小，并证明你的结论.
解析：（1）设数列{bn}的公差为d，由题意得
∴bn=3n-2.
（2）由bn=3n-2知
Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+
)=loga［(1+1)(1+
)(1+
)…(1+
)］,
logabn+1
=loga
.
因此要比较Sn与
logabn+1的大小，可先比较（1+1）（1+
）…（1+
）与
的大小.
取n=1,有（1+1）＞
取n=2，有（1+1）（1+
）＞
，
……
由此推测（1+1）（1+
）…（1+
）＞
. ①
若①式成立，则由对数函数性质可断定：
当a＞1时，Sn＞
logabn+1;
当0＜a＜1时，Sn＜
logabn+1.
下面用数学归纳法证明①式.
(ⅰ)当n=1时，已验证①式成立.
（ⅱ）假设当n=k(k≥1)时，①式成立，
即（1+1）（1+
）…（1+
）＞
.
那么，当n=k+1时，
（1+1）（1+
）…（1+
）·［1+
］＞
(1+
)=
(3k+2).
∵［
(3k+2)］3-(
)3
=
=
＞0，
∴
(3k+2)＞
=
.
因而(1+1)(1+
)…（1+
）(1+
)
这就是说①式当n=k+1时也成立.
由（ⅰ）（ⅱ）知，①式对任何自然数n都成立.由此证得：
当a＞1时，Sn＞
logabn+1
当0＜a＜1时，Sn＜
logabn+1.
练习册系列答案
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=d（其中d是常数，n∈N﹡），则称数列{an}是“等方差数列”．已知数列{bn}是公差为m的差数列，则m=0是“数列{bn}是等方差数列”的 条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件中的一个）