Question

已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an-

n+2

n(n+1)

．
（I）求证数列{an-

1

n

}成等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（III）求证：

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜3．

Answer 1

分析：（I）由an+1=2an-

n+2

n(n+1)

，可得an+1-

1

n+1

=2(an-

1

n

)，所以可证数列{an-

1

n

}是以1为首项，2为公比的等比数列，进而可求数列{a_n}的通项公式；
（II）因为b_n=na_n=n•2^n-1+1，所以S_n=b₁+b₂++b_n=（1+2×2¹++n×2^n-1）+n
记T_n=1+2×2¹++n×2^n-1，于是2T_n=2+2×2²++n×2ⁿ，错位相减得T_n=（n-1）×2ⁿ+1，从而可求数列{b_n}的前n项和S_n；
（III）由an=2n-1+

1

n

知an≥2，a1=2，a2=

5

2

，当n≥2时，an+1=2an-

n+2

n(n+1)

知an+1-1=2(an-1)+

n2-2

n(n+1)

＞ 2(an-1)，从而有

1

ak-1

＜

1

2k-2

(k=3.4，，n)进而可用放缩法转化为等比数列求和，故问题得证．

解答：证明：（I）∵an+1-

1

n+1

=2(an-

1

n

)，∴数列{an-

1

n

}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴an-

1

n

=2n-1，∴an=2n-1+

1

n

（II）∵b_n=na_n=n•2^n-1+1，∴S_n=b₁+b₂++b_n=（1+2×2¹++n×2^n-1）+n
记∴T_n=1+2×2¹++n×2^n-1，于是2T_n=2+2×2²++n×2ⁿ，两式相减化简得T_n=（n-1）×2ⁿ+1，∴数列{b_n}的前n项和S_n=（n-1）×2ⁿ+n+1；
（III）由an=2n-1+

1

n

知an≥2，a1=2，a2=

5

2

当n≥2时，an+1=2an-

n+2

n(n+1)

知an+1-1=2(an-1)+

n2-2

n(n+1)

＞ 2(an-1)，∴ak-1＞2(ak-1-1)＞＞2k-2•

3

2

＞2k-2即

1

ak-1

＜

1

2k-2

(k=3.4，，n)
当n=1，2时，结论成立．
当n≥3时，

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜1+

2

3

+

1

2

+

1

22

++

1

2n-2

=

5

3

+

1 2 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

 ＜

8

3

＜3，∴

1

a1-1

+

1

a2-1

+…+

1

an-1

＜3

点评：本题考查等比、等差数列、不等式和数列的有关知识，化归、递推等数学思想方法，同时考查运算能力，推理论证以及综合运用有关知识分析解决问题的能力．