题目内容
计算
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【答案】分析:对Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1=n(1+x)n-1,两边同乘以x整理后再对x求导,最后令x=1代入整理即可得到结论.
解答:解:对Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1=n(1+x)n-1,两边同乘以x得:
xCn1+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=n•x•(1+x)n-1,
再两边对x求导
得到:Cn1+22Cn2x+32Cn3x2+…+n2Cnnxn-1=n(1+x)n-1+n(n-1)x(1+x)n-2
在上式中令x=1,得Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn=n•2n-1+n(n-1)•2n-2=n(n+1)2n-2.
故答案为:n(n+1)2n-2.
点评:本题主要考查二项式定理的应用.是道好题,解决问题的关键在于对Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1=n(1+x)n-1,两边同乘以x整理后再对x求导,要是想不到这一点,就变成难题了.
解答:解:对Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1=n(1+x)n-1,两边同乘以x得:
xCn1+2Cn2x2+3Cn3x3+…+nCnnxn=n•x•(1+x)n-1,
再两边对x求导
得到:Cn1+22Cn2x+32Cn3x2+…+n2Cnnxn-1=n(1+x)n-1+n(n-1)x(1+x)n-2
在上式中令x=1,得Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn=n•2n-1+n(n-1)•2n-2=n(n+1)2n-2.
故答案为:n(n+1)2n-2.
点评:本题主要考查二项式定理的应用.是道好题,解决问题的关键在于对Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1=n(1+x)n-1,两边同乘以x整理后再对x求导,要是想不到这一点,就变成难题了.
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