Question

已知椭圆C：的离心率，一条准线方程为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH．
①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；
②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆C的离心率，一条准线方程为，建立方程组，求得几何量，即可求椭圆C的标准方程；
（2）①确定G，H的坐标，求得OG，OH的长，即可求△GOH的面积；
②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH，因为OG²+OH²=GH²，故，分类讨论可得结论．
解答：解：（1）因为椭圆的离心率，一条准线方程为．
所以，，a²=b²+c²，…（2分）
解得，
所以椭圆方程为． …（4分）
（2）①由，解得，…（6分）
由得，…（8分）
所以，所以．…（10分）
②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH
因为OG²+OH²=GH²，故，
当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得，
∴
同理可得
∴，∴R=
当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得
故满足条件的定圆方程为x²+y²=．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查标准方程，考查学生分析解决问题的能力，确定椭圆的标准方程是关键．