Question

8．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，cosA），$\overrightarrow{n}$=（1，-10），且$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0
（Ⅰ）求tanA的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=cos2x+tanAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量的数量积以及三角函数的基本关系式求tanA的值；
（Ⅱ）利用上面的结论，求解析式并化简，转化为关于sinx的二次函数的形式，根据sinx的范围求二次函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得sinA-10cosA=0（2分）
因为cosA≠0，（3分）
所以tanA=10．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=10得f（x）=cos2x+10sinx（5分）
=1-2sin²x+10sinx（6分）
所以f（x）=-2（sinx-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{27}{2}$（7分）
因为x∈R，所以sinx∈[-1，1]．（8分）
当sinx=-1时，f（x）有最小值-11，（9分）
当sinx=1时，f（x）有最大值9，（10分）
所以所求函数f（x）的值域是[-11，9]．（12分）

点评 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力．