Question

已知函数f(x)=x³-(2m+1)x²-6m(m-1)x+1，x∈R，
(1)当m=-1时，求函数y=f(x)在[-1，5]上的单调区间和最值；
(2)设f′(x)是函数y=f(x)的导数，当函数y=f′(x)的图象在(-1，5)上与x轴有唯一的公共点时，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：(1)当m=-1时，，
∴的两个根为x=-3或x=2，
所以f(x)在（-1，2）上单调递减，在(2，5)上单调递增，
又，
故函数f(x)在[-1，5]上的最大值为，最小值为。
(2)由已知有，
函数f′（x）的图象与x轴的公共点的横坐标就是方程x²-(2m+1)x-3m(m-1)=0(*)的实数根，
即方程(*)在(-1，5)上有等根或有一个实根，
①当△=0时，有，此时，故为所求；
②当△＞0时，令，
设H(-1)·H(5)≤0，即，解得或，
检验端点，当m=-4和m=2时，不符合条件，舍去；
综上，实数m的取值范围是或或。