题目内容
（04年北京卷）(12分)
给定有限正数满足条件T: 每个数都不大于50且总和L=1275.现将这些数按下列要求进行分组,每组数之和不大于150且分组的步骤是:
首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的,r1称为第一组余差;
然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差r2;如此继续构成第三组(余差为r3)、第四组（余差为r4）、…，直至第N组（余差为rN）把这些数全部分完为止。
(Ⅰ) 判断r1,r2,…，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
(Ⅱ) 当构成n(n>N)组后，指出余下的每个数与rn的大小关系，并证明
；
（Ⅲ）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11。
解析: (Ⅰ) r1≤r2≤rN. 除第N组外的每组至少含有
个数.
(Ⅱ) 当第n组形成后,因为n<N,所以还有数没分完,这时余下的每个数必大于余差rn. 余下数之和也大于第n组的余差rn,即 
,
由此可得
因为
所以
(Ⅲ)用反证法证明结论. 假设N>11,即第11组形成后,还有数没分完,由(Ⅰ)和(Ⅱ)可知,余下的每个数都大于第11组的余差r11,且,
故 余下的每个数> r11≥r10>
因为第11组数中至少含有3个数,所以第11组数之和大于37.5×3=112.5.
此时第11组的余差r11=150―第11组数之和<150―112.5=37.5,
这与(*)式中r11>37.5矛盾,所以N≤11.(12分)
练习册系列答案
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)且f(1)=1，在每个区间
（i=1，2，…）上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。
)，f(
)的值，并归纳出f(
)（i=1，2，…）的表达式；
，x轴及y=f(x)的图象围成的梯形的面积为ai (i=1，2，…)，记S(k)=
(a1+a2+…+an)，求S(k)的表达式，并写出其定义域和最小值。
的值及直线AB的斜率.
且f(1)=1,在每个区间
=1,2,…)上, y=f(x) 的图象都是平行于x轴的直线的一部分.
的值,并归纳出
)的表达式;
轴及y=f(x)的图象围成的矩形的面积为
, 求a1,a2及
的值.
其中P,M为实数集R的两个非空子集,又规定
给出下列四个判断:
,则
