题目内容
已知直线l:4x+3y-8=0(a∈R)过圆C:x2+y2-ax=0的圆心交圆C于A、B两点,O为坐标原点.
(I)求圆C的方程;
(II) 求圆C在点P(1,
)处的切线方程;
(III)求△OAB的面积.
(I)求圆C的方程;
(II) 求圆C在点P(1,
3 |
(III)求△OAB的面积.
分析:(I)圆C:x2+y2-ax=0的圆心为(
,0),将圆心坐标代入4x+3y-8=0即可求得a,从而可得圆C的方程;
(II)将点P(1,
)的坐标代入x2+y2-4x=0成立,即点P(1,
)在x2+y2-4x=0上,设过点P(1,
)的切线l1的斜率为k,利用kPC•k=-1可求得k,从而可得切线l1的方程;
(III)由题意可知,|AB|为圆x2+y2-4x=0的直径,其长度为4,利用点到直线的距离公式可求得原点(0,0)到直线l:4x+3y-8=0的距离,从而可求△OAB的面积.
a |
2 |
(II)将点P(1,
3 |
3 |
3 |
(III)由题意可知,|AB|为圆x2+y2-4x=0的直径,其长度为4,利用点到直线的距离公式可求得原点(0,0)到直线l:4x+3y-8=0的距离,从而可求△OAB的面积.
解答:解:(I)∵圆C:x2+y2-ax=0的圆心为(
,0)…(1分)
直线l:4x+3y-8=0过圆C的圆心,
∴4×
+3×0-8=0,
∴a=4…(3分)
∴圆C的方程为:x2+y2-4x=0…(4分)
(II)∵点P(1,
)在x2+y2-4x=0上,且圆心为(2,0)…(5分)
∴设过点P(1,
)的切线l1的斜率为k,过P、C两点的
直线的斜率为kPC,则 …(6分)
kPC=
=-
…(7分)
∵PC⊥l1
∴kPC•k=-1,故k=
…(8分)
∴切线l1的方程为y-
=
(x-1),即x-
y+2=0…(9分)
(III)∵圆C:x2+y2-4x=0的半径为2,…(10分)
∴|BC|=2r=4…(11分)
点O(0,0)到直线l:4x+3y-8=0的距离为d=
=
…(12分)
∴S△OAB=
|BC|•d=
×4×
=
…(13分)
a |
2 |
直线l:4x+3y-8=0过圆C的圆心,
∴4×
a |
2 |
∴a=4…(3分)
∴圆C的方程为:x2+y2-4x=0…(4分)
(II)∵点P(1,
3 |
∴设过点P(1,
3 |
直线的斜率为kPC,则 …(6分)
kPC=
| ||
1-2 |
3 |
∵PC⊥l1
∴kPC•k=-1,故k=
| ||
3 |
∴切线l1的方程为y-
3 |
| ||
3 |
3 |
(III)∵圆C:x2+y2-4x=0的半径为2,…(10分)
∴|BC|=2r=4…(11分)
点O(0,0)到直线l:4x+3y-8=0的距离为d=
|0+0-8| | ||
|
8 |
5 |
∴S△OAB=
1 |
2 |
1 |
2 |
8 |
5 |
16 |
5 |
点评:本题考查圆的一般方程,考查求圆的切线方程及点到直线的距离公式的应用,突出转化与方程思想的运用,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目