题目内容

已知：椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，且经过点（0，3）
（1）求此椭圆的方程
（2）若已知直线l：4x-5y+40=0，问：椭圆C上是否存在一点，使它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

解：（1）由题意知，2c=8，c=4，
∴b=3，
从而a²=b²+c²=25，
∴方程是 $\text{[math]}$ …（4分）
（2）由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交
设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0（1）
由方程组 $\text{[math]}$
消去y，得25x²+8kx+k²-225=0（2）
令方程（2）的根的判别式△=0，得64k²-4×25（k²-225）=0（3）
解方程（3）得k₁=25或k₂=-25，
∴当k₁=25时，直线m与椭圆交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x-5y+25=0
直线m与直线l间的距离 $\text{[math]}$
所以，最小距离是 $\text{[math]}$ ．…（8分）
分析：（1）依题意可知c，根据经过点（0，3）求得b，进而根据a²=b²+c²求得a²，则椭圆方程可得；
（2）由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交，将直线l：4x-5y+40=0平移，使得其与椭圆相切，则可知切线与直线l的距离最小或最大，故设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0与椭圆方程联立，利用判别式为0可求．
点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查点线距离，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将直线l：4x-5y+40=0平移，使得其与椭圆相切，则可知切线与直线l的距离最小或最大．