题目内容
过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设∠BAO=2α（O为坐标原点），当△AOB的周长最小时，cotα=________．
3
分析：先用2α的三角函数表示△AOB的周长，进而导数求最值，从而得解．
解答：由题意，△AOB的周长可表示为
令tan2α=t，则周长为y=
令y′=0，可得
∵函数在区间（0，
）上单调减，在（，+∞）上单调增，
∴函数在时，取得极小值，且为最小值．
∴当
时，周长最小
∴
∴
∴cotα=3
故答案为：3
点评：本题以直线为载体，考查导数的运用，计算要细心．
分析：先用2α的三角函数表示△AOB的周长，进而导数求最值，从而得解．
解答：由题意，△AOB的周长可表示为
令tan2α=t，则周长为y=
令y′=0，可得
∵函数在区间（0，
）上单调减，在（，+∞）上单调增，∴函数在
时，取得极小值，且为最小值．∴当
时，周长最小∴
∴
∴cotα=3
故答案为：3
点评：本题以直线为载体，考查导数的运用，计算要细心．
练习册系列答案
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过点P（2，1）作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点．