Question

过P（2，1）作直线L与x轴正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，设∠BAO=2α（O为坐标原点），当△AOB的周长最小时，cotα=

3

．

Answer 1

分析：先用2α的三角函数表示△AOB的周长，进而导数求最值，从而得解．

解答：解：由题意，△AOB的周长可表示为OA+OB+PA+PB=2+cot2α+1+2tan2α+

1

sin2α

+

2

cos2α

令tan2α=t，则周长为y=3+

1

t

+2t+

t2+1

t

+ 2

t2+1

y/=-

1

t2

+2-

1

t2 t2+1

+

2t

t2+1

令y′=0，可得t=

3

4

∵函数在区间（0，

3

4

）上单调减，在（

3

4

，+∞）上单调增，
∴函数在t=

3

4

时，取得极小值，且为最小值．
∴当tan2α=

3

4

时，周长最小
∴

2 tanα

1-tan2α

=

3

4

∴tanα=

1

3

∴cotα=3
故答案为：3

点评：本题以直线为载体，考查导数的运用，计算要细心．