Question

7．已知函数f（x）=（x+$\frac{a-1}{x}$）e^x，a∈R．
（1）若f′（-1）=0求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（0，1）上有且只有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数f（x）=（x+$\frac{a-1}{x}$）e^x的定义域，当f′（-1）=0时，a=1，f（x）=xe^x，f′（x）=（x+1）e^x，从而由导数的几何意义写出切线方程即可；
（2）先求导f′（x）；再设h（x）=x³+x²+（a-1）x-（a-1），h′（x）=3x²+2x+a-1，故由导数知分a＞1，a=1与a＜1分别讨论即可．

解答 解：函数f（x）=（x+$\frac{a-1}{x}$）e^x的定义域为{x|x≠0}，f′（x）=$\frac{{x}^{3}+{x}^{2}+（a-1）x-（a-1）}{{x}^{2}}$e^x；
（1）当f′（-1）=0时，a=1，f（x）=xe^x，f′（x）=（x+1）e^x，
所以f（1）=e，f′（1）=2e；
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-e=2e（x-1），
即2ex-y-e=0；
（3）f′（x）=$\frac{{x}^{3}+{x}^{2}+（a-1）x-（a-1）}{{x}^{2}}$e^x；
设h（x）=x³+x²+（a-1）x-（a-1），h′（x）=3x²+2x+a-1，
①当a＞1时，h′（x）＞0恒成立，故h（x）在（0，+∞）上为增函数；
而h（0）=-a+1＜0，h（1）=2＞0，
故函数h（x）在（0，1）上有且只有一个零点，
故这个零点为函数f（x）在区间（0，1）上的唯一的极小值点；
②当a=1时，x∈（0，1）时，h′（x）=3x²+2x＞0，故h（x）在（0，1）上为增函数，
又h（0）=0，故f（x）在（0，1）上为增函数；
故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；
③当a＜1时，h（x）=x³+x²+a（x-1）-（a-1），
当x∈（0，1）时，总有h（x）＞0成立，即f（x）在（0，1）上为增函数；
故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值．
综上所述，a＞1．

点评 本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于中档题．