Question

P是双曲线

x 2

4

-

y 2

b 2

=1上一点，双曲线的一条渐近线为3x-2y=0，F₁，F₂分别是左、右焦点，若|PF₁|=5，则P到双曲线右准线的距离是

18 13

13

．

Answer 1

分析：先根据双曲线的焦点位置与渐近线方程求出椭圆方程，得到实轴长与半焦距，利用椭圆的第一定义和PF₁的长度，就可求出PF₂的长度，再用第二定义，椭圆上的点到右焦点的距离与到右准线的距离比等于离心率，就可求出P到双曲线右准线的距离．

解答：解；∵双曲线的焦点在x轴，一条渐近线为3x-2y=0，
∴

b

a

=

3

2

，又∵a=2，∴b=3，c=

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∴||PF₁|-|PF₂||=2a=4，∵|PF₁|=5，∴|PF₂|=9或1∵
|PF₂|≥c-a=

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-2，∴|PF₂|=1不成立
∴，∴|PF₂|=9
由椭圆的第二定义

|PF2|

d

=e=

c

a

=

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2

∴d=

18 13

13

故答案为

18 13

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点评：本题主要考查了椭圆的第一定义与第二定义的综合应用，属于圆锥曲线的常规题．