Question

（2011•天津模拟）某班t名学生在2011年某次数学测试中，成绩全部介于80分与130分之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[80，90）；第二组[90，100）…第五组[120，130]，下表是按上述分组方法得到的频率分布表：

分 组	频 数	频 率
[80，90）	x	0.04
[90，100）	9	y
[100，110）	z	0.38
[110，120）	17	0.34
[120，130]	3	0.06

（Ⅰ） 求t及分布表中x，y，z的值；
（2）校长决定从第一组和第五组的学生中随机抽取2名进行交流，求第一组至少有一名学生被抽到的概率；
（3）设从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学测试成绩分别记为m，n，求事件“|m-n|≤10”的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 用频数除以频率可得个体总数t，用个体总数乘以该组的频率，求出该组的频数，根据各组的频率之和
等于1求出y值．
（2）用列举法求基本事件的总个数，找出其中第一组的2位学生至少有一位学生入选的事件的个数，由此求得
第一组至少有一名学生被抽取的概率．
（3）用列举法求出m，n的所有可能结果共10种，找出其中使|m-n|≤10成立有 7种，从而求得事件“|m-n|≤10”的概率．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得 t=

3

0.06

=50，x=50×0.04=2，
 z=50×0.38=19，y=1-0.04-0.38-0.34-0.06=0.18．-----（4分）
（2）设第5组的3名学生分别为A₁，A₂，A₃，第1组的2名学生分别为B₁，B₂，
则从5名学生中抽取两位学生有：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，A₃），
（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），共10种可能．-----（6分）
其中第一组的2位学生B₁，B₂至少有一位学生入选的有：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），
（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），共7种可能，------（8分）
所以第一组至少有一名学生被抽取的概率为

7

10

=

7

10

．-------（9分）
（3）第1组[80，90）中有2个学生，数学测试成绩设为a，b，第5组[120，130]中有3个学生，
数学测试成绩设为A，B，C
则m，n可能结果为（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），
（A，B），（A，C），（B，C）共10种．------（11分）
使|m-n|≤10成立有（a，b），（A，B），（A，C），（B，C）共4种．--------（12分）
所以P(|m-n|≤10)=

4

10

=

2

5

即事件“|m-n|≤10”的概率为

2

5

．-------（13分）

点评：本题主要考查等可能事件的概率，频率分布表的应用，用列举法求基本事件的个数，属于中档题．