Question

设复数z=-

6

+

2

i，记u=(

4

z

)3．
（1）求复数u的三角形式；
（2）如果

a

z

+

b

u

=z+2u，求实数a、b的值．

Answer 1

分析：（1）先求化简u=(

4

z

)3中的

4

z

，然后利用1的立方虚根的性质(-

1

2

-

3

2

i)3 =1和复数的三角形式求出u．
（2）将z，u代入复数方程，化简，利用复数相等的充要条件，可解出a、b的值．

解答：解：（1）

4

z

=

4

- 6 + 2 i

=

2

2 (- 3 2 + 1 2 i)

=

2 i

- 1 2 - 3 2 i

∴u=(

4

z

)3=(

2

i)3=2

2

(cos

3π

2

+isin

3π

2

)；
（2）因为u=(

2

i)3=-2

2

iz=-

6

+

2

i
所以

a

- 6 +  2i

+

b

-2 2 i

=-

6

+

2

i-4

2

i
即：a（-

6

+

2

i）+2

2

bi=-8

6

-24

2

i
解得：a=8，b=-8．

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的三角形式的运算，
结论(-

1

2

-

3 i

2

)3=1的应用，简化运算过程，是中档题．