题目内容
设函数f(x)=msinx+
cosx,(m为常数,且m>0),已知函数f(x)的最大值为2.
(I)求函数f(x)的单调递减区间;
(II)已知a,b,c是△ABC的三边,且b2=ac.若,f(B)=
,求B的值.
2 |
(I)求函数f(x)的单调递减区间;
(II)已知a,b,c是△ABC的三边,且b2=ac.若,f(B)=
3 |
分析:(Ⅰ)由题意函数f(x)=
sin(x+∅),
=2,求得m=
,从而函数f(x)=
sinx+
cosx=2sin(x+
).由 2kπ+
≤x+
≤2kπ+
,k∈z,解得x的范围,
即可得到函数f(x)的单调递减区间.
(Ⅱ)由题意可得 cosB=
=
≥
,可得0<B≤
,再由 f(B)=
=2sin(B+
),求得 B的值.
m2+2 |
m2+2 |
2 |
2 |
2 |
π |
4 |
π |
2 |
π |
4 |
3π |
2 |
即可得到函数f(x)的单调递减区间.
(Ⅱ)由题意可得 cosB=
a2+c2-b 2 |
2ac |
a2+c2-ac |
2ac |
1 |
2 |
π |
3 |
3 |
π |
4 |
解答:(Ⅰ)由题意函数f(x)=msinx+
cosx=
sin(x+∅),又函数的最大值为2,且m>0,
则
=2,∴m=
.
∴函数f(x)=
sinx+
cosx=2sin(x+
).
由 2kπ+
≤x+
≤2kπ+
,k∈z,解得
≤x≤2kπ+
,k∈z.
故函数函数f(x)的单调递减区间是[
,2kπ+
],k∈z.
(Ⅱ)∵已知a,b,c是△ABC的三边,且b2=ac,∴cosB=
=
≥
=
,
当且仅当a=c时取等号.
∴1>cosB≥
,∴0<B≤
,∴f(B)=
=2sin(B+
),∴B=
.
2 |
m2+2 |
则
m2+2 |
2 |
∴函数f(x)=
2 |
2 |
π |
4 |
由 2kπ+
π |
2 |
π |
4 |
3π |
2 |
π |
4 |
5π |
4 |
故函数函数f(x)的单调递减区间是[
π |
4 |
5π |
4 |
(Ⅱ)∵已知a,b,c是△ABC的三边,且b2=ac,∴cosB=
a2+c2-b 2 |
2ac |
a2+c2-ac |
2ac |
2ac-ac |
2ac |
1 |
2 |
当且仅当a=c时取等号.
∴1>cosB≥
1 |
2 |
π |
3 |
3 |
π |
4 |
π |
12 |
点评:本题主要考查正弦函数的增区间,余弦定理的应用,三角函数的最值,属于中档题.

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