题目内容

设函数f(x)=msinx+
2
cosx,(m为常数,且m>0),已知函数f(x)的最大值为2.
(I)求函数f(x)的单调递减区间;
(II)已知a,b,c是△ABC的三边,且b2=ac.若,f(B)=
3
,求B的值.
分析:(Ⅰ)由题意函数f(x)=
m2+2
sin(x+∅),
m2+2
=2,求得m=
2
,从而函数f(x)=
2
sinx+
2
cosx=2sin(x+
π
4
).由 2kπ+
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
2
,k∈z,解得x的范围,
即可得到函数f(x)的单调递减区间.
(Ⅱ)由题意可得 cosB=
a2+c2-2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
1
2
,可得0<B≤
π
3
,再由 f(B)=
3
=2sin(B+
π
4
),求得 B的值.
解答:(Ⅰ)由题意函数f(x)=msinx+
2
cosx=
m2+2
sin(x+∅),又函数的最大值为2,且m>0,
m2+2
=2,∴m=
2

∴函数f(x)=
2
sinx+
2
cosx=2sin(x+
π
4
).
由 2kπ+
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
2
,k∈z,解得
π
4
≤x≤2kπ+
4
,k∈z.
故函数函数f(x)的单调递减区间是[
π
4
,2kπ+
4
],k∈z.
(Ⅱ)∵已知a,b,c是△ABC的三边,且b2=ac,∴cosB=
a2+c2-2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
2ac-ac
2ac
=
1
2

 当且仅当a=c时取等号.
∴1>cosB≥
1
2
,∴0<B≤
π
3
,∴f(B)=
3
=2sin(B+
π
4
),∴B=
π
12
点评:本题主要考查正弦函数的增区间,余弦定理的应用,三角函数的最值,属于中档题.
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