题目内容

设函数f（x）=msinx+
2
cosx，（m为常数，且m＞0），已知函数f（x）的最大值为2．
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（II）已知a，b，c是△ABC的三边，且b2=ac．若，f(B)=
3
，求B的值．
分析：（Ⅰ）由题意函数f（x）=
m2+2
sin（x+∅），
m2+2
=2，求得m=
2
，从而函数f（x）=
2
sinx+
2
cosx=2sin（x+
π
4
）．由 2kπ+
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，解得x的范围，
即可得到函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由题意可得 cosB=
a2+c2-b 2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
1
2
，可得0＜B≤
π
3
，再由 f(B)=
3
=2sin（B+
π
4
），求得 B的值．
解答：（Ⅰ）由题意函数f（x）=msinx+
2
cosx=
m2+2
sin（x+∅），又函数的最大值为2，且m＞0，
则
m2+2
=2，∴m=
2
．
∴函数f（x）=
2
sinx+
2
cosx=2sin（x+
π
4
）．
由 2kπ+
π
2
≤x+
π
4
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，解得
π
4
≤x≤2kπ+
5π
4
，k∈z．
故函数函数f（x）的单调递减区间是[
π
4
，2kπ+
5π
4
]，k∈z．
（Ⅱ）∵已知a，b，c是△ABC的三边，且b2=ac，∴cosB=
a2+c2-b 2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，
 当且仅当a=c时取等号．
∴1＞cosB≥
1
2
，∴0＜B≤
π
3
，∴f(B)=
3
=2sin（B+
π
4
），∴B=
π
12
．
点评：本题主要考查正弦函数的增区间，余弦定理的应用，三角函数的最值，属于中档题．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Msin（ωx+φ）（其中M＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设α∈(
π
6
，  
2π
3
)，  β∈(-
5π
6
，-
π
3
)，  f(
α
2
)=
3
5
，  f(
β
2
)=-
4
5
，求cos2（α-β）的值．
设函数f（x）=x2013+x，x∈R，若当θ∈[0 ， 
π2
)时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则m的取值范围是
（-∞，1）
（-∞，1）
．
设函数f（x）=x3+x，x∈R．若当0＜θ＜
π
2
时，不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
（2013•泸州一模）已知命题p：夹角为m的单位向量a，b使|a-b|＞l，命题q：函数f（x）=msin（mx）的导函数为f′（x），若?xo∈R，f′(xo)≥
4π25
．设符合p∧q为真的实数m的取值的集合为A．
（I）求集合A；
（Ⅱ）若B={x∈R|x2=πa}，且B∩A=∅，求实数a的取值范围．
设?＞0，m＞0，若函数f（x）=msin
ωx
2
cos
ωx
2
在区间(-
π
3
，
π
4
)上单调递增，则ω的取值范围是（　　）

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