题目内容
已知正四面体ABCD的棱长为a．
（1）求证：AC⊥BD
（2）求AC与BD的距离．
（3）求它的内切球的半径．
解：（1）证明：取AC中点E∵AD=DC，AB=BC
∴AC⊥DE，AC⊥BE
∴AC⊥平面BDE
∴AC⊥BD
（2）取BD中点F，则，EF⊥BD
同理可证EF⊥AC
∴EF为AC与BD的距离
∵正四面体ABCD的棱长为a
∴
∴
（3）设内切球心为O，半径为r
∵VA-BCD=VO-ABC+VO-PAB+VO=PBC+VO-PAC
∴
分析：（1）取AC中点E，根据AD=DC，AB=BC，可知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故可证AC⊥BD
（2）取BD中点F，证明EF为AC与BD的距离，由于正四面体ABCD的棱长为a，故可求；
（3）设内切球心为O，半径为r，利用VA-BCD=VO-ABC+VO-PAB+VO=PBC+VO-PAC，各底面面积相等，故可求．
点评：本题以正四面体为载体，考查线线垂直，考查异面直线间的距离，考查体积公式的运用，属于基础题．
练习册系列答案
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已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H．设四面体EFGH的表面积为T，则
等于（ ）
| T |
| S |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
已知正四面体ABCD中，M、N分别是BC和AD中点，则异面直线AM和CN所成的角的正切值为（ ）