Question

已知点A，B分别是射线l₁：y=x（x≥0），l₂：y=-x（x≥0）上的动点，O为坐标原点，且△OAB的面积为定值2．
（I）求线段AB中点M的轨迹C的方程；
（II）过点N（0，2）作直线l，与曲线C交于不同的两点P，Q，与射线l₁，l₂分别交于点R，S，若点P，Q恰为线段RS的两个三等分点，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）通过设A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂），M（x，y），建立M与AB的关系，继而转化为x与y的关系，整理即可得到所以点M的轨迹方程．
（II）根据题意，因为l斜率存在，故设出直线方程．根据x_P，x_Q＞0以及由于P，Q为RS的三等分点分别得出一个等式，最后通过两个等式分别化简即可得出l的斜率．此时，直线方程即可得到．

解答：解：（I）由题可设A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂），M（x，y），其中x₁＞0，x₂＞0．
则

x= x1+x2 2 ，(1) y= x1-x2 2 ，(2)

∵△OAB的面积为定值2，
∴S△OAB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

(

2

x1)(

2

x2)=x1x2=2
（1）²-（2）²，消去x₁，x₂，
得：x²-y²=2．
由于x₁＞0，x₂＞0，
∴x＞0，
所以点M的轨迹方程为x²-y²=2（x＞0）．

（II）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+2．
由

y=kx+2 x2-y2=2

消去y得：（1-k²）x²-4kx-6=0，
设点P、Q、R、S的横坐标分别是x_P、x_Q、x_R、x_s，
∴由x_P，x_Q＞0得

1-k2≠0 △=16k2+24(1-k2)＞0 xP+xQ= 4k 1-k2 ＞0 xPxQ= -6 1-k2 ＞0

解之得：-

3

＜k＜-1．
∴|xP-xQ|=

(xP+xQ)2-4xPxQ

=

2 6-2k2

k2-1

．
由

y=kx+2 y=x

消去y得：xR=

2

1-k

，
由

y=kx+2 y=-x

消去y得：xS=

2

-1-k

，
∴|xR-xS|=

4

k2-1

．
由于P，Q为RS的三等分点，
∴|x_R-x_S|=3|x_P-x_Q|．
解之得k=-

5

3

．
经检验，此时P，Q恰为RS的三等分点，
故所求直线方程为y=-

5

3

x+2．

点评：本题考查直线方程，直线与圆的位置关系，以及轨迹方程的运算．通过已知题意分别把条件化为等式然后进行运算，本题为难题