Question

18．如图，在多边形P-ABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，BD=DC=$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{5}$，PA=2$\sqrt{2}$，且PA⊥平面ABC．
（1）求证：PA∥平面BCD；
（2）求平面ADC与平面PBD的夹角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点E、AB的中点F，连结AE、ED、CF，通过已知条件及勾股定理可得AE⊥DE，利用PA⊥平面ABC即得结论
（2）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，通过向量知识可得平面ADC与平面PBD的夹角的余弦值即为平面ACD的法向量与平面PBD的法向量的夹角的余弦值，利用平方关系可得平面ADC与平面PBD的夹角的正弦值，进而可得结论．

解答 （1）证明：取BC的中点E、AB的中点F，连结AE、ED、CF，
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴AB=BC=2，
∵BD=DC=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{B{D}^{2}-（\frac{1}{2}BC）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵DE²+AE²=2+3=AD²，
∴AE⊥DE，
又DE⊥BC，∴DE⊥平面ABC，
又∵PA⊥平面ABC，
∴PA∥DE，
∴PA∥平面BCD；
（2）解：以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz如图，
则A（0，0，0），D（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{2}$），C（1，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$2\sqrt{2}$），B（2，0，0），
则$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，$2\sqrt{2}$），
设平面ACD的法向量为$\overrightarrow{p}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\sqrt{2}z=0}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
取y=-1，得$\overrightarrow{p}$=（$\sqrt{3}$，-1，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
设平面PBD的法向量为$\overrightarrow{q}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{q}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\sqrt{2}z=0}\\{-2x+2\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，得$\overrightarrow{q}$=（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1），
记平面ADC与平面PBD的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}||\overrightarrow{q}|}$=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{3+1+\frac{3}{2}}×\sqrt{2+\frac{2}{3}+1}}$=$\frac{5}{11}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{2\sqrt{29}}{11}$，
∴平面ADC与平面PBD的夹角的正切值为$\frac{\frac{2\sqrt{19}}{11}}{\frac{5}{11}}$=$\frac{2\sqrt{19}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的判定定理，二面角的计算，数量积的运算，平方关系，注意解题方法的积累，属于难题．