Question

16．求下列函数的值域．
（1）y=x+$\sqrt{x-1}$；
（2）y=$\frac{1+4x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据x-1≥0，便可得出x的范围，从而根据不等式的性质便可得出$x+\sqrt{x-1}$的范围，即得出该函数的值域；
（2）观察函数解析式，便可发现若分子分母同除以x可以化简函数解析式，这便需讨论a是否为0：a=0时，求出y=1；a≠0时，原函数可变成y=$1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$，这样根据基本不等式便可求出y的范围，对求得的y值求并集即可得出该函数的值域．

解答 解：（1）x-1≥0；
∴$x≥1，\sqrt{x-1}≥0$；
∴$x+\sqrt{x-1}≥1$；
∴该函数的值域为[1，+∞）；
（2）①若x=0，则y=1；
②若x≠0，则$y=\frac{1+4x+{x}^{2}}{1+{x}^{2}}=\frac{\frac{1}{x}+x+4}{\frac{1}{x}+x}$=$1+\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$；
1）x＞0时，$x+\frac{1}{x}≥2$，x=1时取“=”；
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{1}{2}$；
∴1＜y≤3；
2）x＜0时，$x+\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$，x=-1时取“=”；
$-\frac{1}{2}≤\frac{1}{x+\frac{1}{x}}＜0$；
∴-1≤y＜1；
∴综上得原函数的值域为：[-1，3]．

点评 考查函数值域的概念，根据不等式的性质求函数值域的方法，根据基本不等式求值域，不要漏了a=0的情况．