Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为2，A₁在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示：
（1）联结BC₁，若BC1=2

2

，求异面直线AA₁与BC₁所成角的大小；
（2）联结A₁C、A₁B，求四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理证明BB₁⊥B₁C₁，判断∠B₁BC₁为异面直线AA₁与BC₁所成的角，通过解三角形求得角；
（2）根据VA1-BCC1B1=2VA1-BB1C1=2VB-A1B1C1，只需利用三棱锥的换底性求得三棱锥三棱锥B-A₁B₁C₁的体积，可得答案．

解答：解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为2，BC1=2

2

，
∴BB12+B1C12=BC12，∴BB₁⊥B₁C₁，
∵AA₁∥BB₁，∴∠B₁BC₁为异面直线AA₁与BC₁所成的角，
∠B₁BC₁=45°，∴异面直线AA₁与BC₁所成的角为45°；
（2）∵S△BCC1=S△BB1C1，
∴VA1-BCC1B1=2VA1-BB1C1=2VB-A1B1C1，
连接AO，∵A₁在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，
∴A₁O为三棱锥B-A₁B₁C₁的高，
∴OA=

2

3

×2×

3

2

=

2 3

3

，
∴四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积V=2×

1

3

×

1

2

×2×2×

3

2

×

2 3

3

=

4

3

．

点评：本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了割补法求几何体的体积，割补法是求几何体体积的常用方法，必需熟练掌握．