Question

14．已知函数f（x）=（x²+ax+2a-3）e^2-x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，求实数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=2，g（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x+m，且f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率，切点，运用点斜式方程，即可得到；
（Ⅱ）令导数等于0，比较-1与3-a的大小关系，分类讨论，得到函数的单调区间，
（Ⅲ）分别利用导数求出f（x），g（x）极值，再根据f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点化为$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＞g（-1）}\\{f（1）＞g（1）}\end{array}\right.$，从而求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²+ax+2a-3）e^2-x，
∴f′（x）=[-x2+（2-a）x+3-a]e^2-x=（-x-1）（x+a-3）e^2-x，
∵曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，
∴曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为k=f′（2）=（-2-1）（2+a-3）e^2-2=0，
∴a=1，
（Ⅱ）令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=3-a，
①若a＜4，当x＜-1，或x＞3-a时，f′（x）＜0，
当-1＜x＜3-a时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，-1]，[3-a，+∞），单调递增区间为[-1，3-a]，
②若a=4，f′（x）=-（x+1）e^2-x≤0，且仅当x=-1时，f′（-1）=0，
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，+∞），
③若a＞4时，当x＜3-a，或x＞-1时，f′（x）＜0，
当3-a＜x＜-1时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，3-a]，[-1，+∞），单调递增区间为[3-a，-1]，
（Ⅲ）当a=2时，f（x）=（x²+2x+1）e^2-x，
由（Ⅱ）可知，f（x）的单调递减区间为（-∞，-1]，[1，+∞），单调递增区间为[-1，1]，
∴f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=0，在x=1处取得极大值f（1）=4e，
∵g（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}$-x+m，
∴g′（x）=x²-1．
当x＜-1或x＞1时，g′（x）＞0；当-1＜x＜1时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
∴g（x）在x=0处取得极大值g（-1）=m+$\frac{2}{3}$，在x=1处取得极小值g（1）=m-$\frac{2}{3}$．
∵函数f（x）与函数g（x）的图象有3个不同的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜g（-1）}\\{f（1）＞g（1）}\end{array}\right.$，
∴-$\frac{2}{3}$＜m＜4e+$\frac{2}{3}$，

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查构造函数，运用导数求极值，考虑极值的正负来判断函数的零点，属于难题