Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点P在直线l上运动，求∠F₁PF₂的最大值、

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距为c，由题意能够导出a=2，b=

3

，c=1，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设P（-4，y₀），y₀≠0设直线PF₁的斜率k₁=-

y0

3

，直线PF₂的斜率k₂=-

y0

5

，由题设知∠F1PF为锐角．由此能导出∠F₁PF₂的最大值为arctan

15

15

．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距为c，
则|MA1|=

a2

c

-a，|A1F1|=a-c由题意，
得

a2 c -a=2(a-c) 2a=4 a2=b2+c2

，∴a=2，b=

3

，c=1，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设P（-4，y₀），y₀≠0设直线PF₁的斜率k₁=-

y0

3

，直线PF₂的斜率k₂=-

y0

5

，
∵0＜∠F1PF2＜∠PF1M＜

π

2

，∴∠F1PF为锐角．
∴tan∠F1PF2=|

k2-k1

1+k1k2

|=

2|y0|

y02+15

≤

2|y0|

2 15 |y0|

=

15

15

．
当|y0|=

15

，即y0=±

15

时，tan∠F₁PF₂取到最大值，
此时∠F₁PF₂最大，故∠F₁PF₂的最大值为arctan

15

15

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．