Question

已知向量，令，且f（x）的周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若时f（x）+m≤3，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵向量=（，cos2ωx），=（sin2ωx，1），（ω＞0）
∴=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）
∵函数的周期T==π，∴ω=1
即函数f（x）的解析式是f（x）=2sin（2x+）；
（II）当时，2x+∈[，]
∴-≤sin（2ωx+）≤1
因此，若时，f（x）∈[-1，2]
∴f（x）+m≤3恒成立，即2+m≤3，解之得m≤1
即实数m的取值范围是（-∞，1]．
分析：（I）根据向量数量积坐标运算公式，结合辅助角公式化简整理可得f（x）=2sin（2ωx+），用三角函数周期公式即可得到ω=1，从而得到函数f（x）的解析式；
（II）利用正弦函数的图象与性质，得到当时f（x）+m的最大值为2+m，结合不等式恒成立的等价条件，即可解出实数m的取值范围．
点评：本题给出向量的坐标式，求函数的表达式并讨论了函数恒成立的问题，着重考查了向量的数量积、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．