题目内容

设椭圆E: (a,b>0)过M(2,) ,N(,1)两点,O为坐标原点,

(1)求椭圆E的方程;

(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由。

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解,待定系数法求解,并且考查了圆与椭圆的位置关系的研究,利用恒有交点,联立方程组和韦达定理一起表示向量OA,OB,并证明垂直。

 

【答案】

解:(1)因为椭圆E: (a,b>0)过M(2,) ,N(,1)两点,

所以解得所以椭圆E的方程为

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组,即,  

则△=,即

,要使,需使,即,所以,所以,所以,所以,即,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为满足,综上, 存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

 

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