Question

已知：点P是椭圆上的动点，F₁、F₂是该椭圆的左、右焦点。点Q满足与是方向相同的向量，又。
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）是否存在该椭圆的切线l，使以l被曲线C截得的弦AB为直径的圆经过点F₂？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由椭圆方程知a²=4，b²=3，
∴a=2，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0）
∵与方向相同，
∴点Q在F₁P的延长线上，且有


∴点Q的轨迹C是圆，圆心为F₁，半径为4
∴C的方程为（x+1）²+y²=16。
（2）假设存在该椭圆的切线l满足条件。
（i）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±2
当x=-2时，

此时AF₂与BF₂不垂直，
∴直线x=-2不适合
当x=2时，同理可知x=2也不适合。
（ii）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+n，
与椭圆方程联立消去y得（3+4k²）x²+8knx+4n²-12=0
由题意得△₁=64k²n²-4（3+4k²）（4n²-12）=0，
化简得n²=4k²+3  ①
由
消去y得（1+k²）x²+（2+2kn）x+n²-15=0
在l与椭圆相切的条件下必有△₂=（2+2kn）² -4（1+k²）· （n²-15）>0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

∵ AF₂⊥BF₂
∴
∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+n，y₂=kx₂+n，
∴（k²+1）x₁x₂+（kn-1）（x₁+x₂）+n²+1=0
∴
化简得n²=7k²+6， ②
由①②可得4k²+3=7k²+6
∴k²=-1不成立，
综上，直线l不存在。