Question

已知函数g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f(x)=log

3

(x+a)的图象．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＜log 

3

a；
（3）|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得A（2，2），将其代入f（x）的解析式即可求得实数a的值；
（2）利用对数函数的性质即可求得不等式f（x）＜log 

3

a的解集；
（3）由|g（x+2）-2|=2b⇒|2^x-1|=2b，通过对x的符号分类讨论可求得|2^x-1|的范围，从而可求得b的取值范围．

解答：解：（1）∵函数g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，
∴A（2，2）…2分
又点A在函数f（x）上，
∴f（2）=log

3

(2+a)=2，
∴2+a=(

3

)2=3，
∴a=1…4分
（2）f（x）＜log 

3

a?log

3

(x+1)＜log

3

1=0…6分
⇒0＜x+1＜1⇒-1＜x＜0
⇒不等式的解集为{x|-1＜x＜0}…8分
（3）|g（x+2）-2|=2b
⇒|2^x+1-2|=2b⇒|2^x-1|=2b…10分
若x＜0，0＜2^x＜1，
∴-1＜2^x-1＜0；
∴0＜|2^x-1|＜1；
若x＞0，则2^x＞1，
∴2^x-1＞0；
∴0＜2b＜1，故b的取值范围为（0，

1

2

）…12分

点评：本题考查指数函数与对数函数的性质，考查解不等式，考查转化思想与分类讨论思想，考查综合分析与运算的能力，属于难题．