Question

已知双曲线C与双曲线

x2

2

-y2=1有共同渐近线，并且经过点（2，-2）．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过双曲线C的上焦点作直线l垂直与y轴，若动点M到双曲线C的下焦点的距离等于它到直线l的距离，求点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设出有共同渐近线的双曲线的方程，代入（2，-2），即可求双曲线C的标准方程；
（2）动点M的轨迹是以双曲线C的下焦点F₂（0，-

6

）为焦点，直线l：y=

6

为准线的抛物线，由此可得点M的轨迹方程．

解答：解：（1）由题意，可设所求双曲线方程为

x2

2

-y2=k(k≠0)，将点（2，-2）代入，得k=-2，
故双曲线的标准方程是

y2

2

-

x2

4

=1．
（2）由题设可知，动点M的轨迹是以双曲线C的下焦点F₂（0，-

6

）为焦点，直线l：y=

6

为准线的抛物线，所以p=|F₁F₂|=2

6

，故点M的轨迹方程是x2=-4

6

y．

点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查方程的设法，属于中档题．