题目内容

若S=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
1000000
，则S的整数部分是
1998
1998
．
分析：S=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
1000000
=1+
2
2
+
2
+
2
3
+
3
+…+
2
1000000
+
1000000
＜1+2×（
1
2
+1
+
1
3
+
2
+…+
1
1000000
+
999999
）=1999；即S＜1999；同理有S=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
1000000
=1+
2
2
+
2
+
2
3
+
3
+…+
2
1000000
+
1000000
＞1+2×（
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
1000001+
1000000
）
=1+2×[（
3
-
2
）+（
4
-
3
）…+（
1000000
-
999999
）+（
1000001
-
1000000
）]
=1+2×（
1000001
-
2
）＞1998．即1998＜S＜1999；进而可得答案．
解答：解：S=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
1000000

=1+
2
2
+
2
+
2
3
+
3
+…+
2
1000000
+
1000000

＜1+2×（
1
2
+1
+
1
3
+
2
+…+
1
1000000
+
999999
）
=1+2×[（
2
-1）+（
3
-
2
）+…+（
1000000
-
999999
）]
=1+2×（-1+
1000000
）
=1+2×（999）
=1999．
即S＜1999，
S=1+
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
1000000

=1+
2
2
+
2
+
2
3
+
3
+…+
2
1000000
+
1000000

＞1+2×（
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
1000001+
1000000
）
=1+2×[（
3
-
2
）+（
4
-
3
）…+（
1000000
-
999999
）+（
1000001
-
1000000
）]
=1+2×（
1000001
-
2
）＞1998．
则1998＜S＜1999
所以不超过S的最大整数为1998．
故答案为：1998．
点评：本题考查有理数域的解法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用放缩法进行求解．
练习册系列答案
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在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码，有一种密码，将英文的26个字母a、b、c，…，z（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26，这26个自然数，见表格：
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
现给出一个变换公式：x'=
x+1
2
，(x∈N*，1≤x≤26，x为奇数)
x
2
+13，(x∈N*，1≤x≤26，x为偶数)
，可将英文的明文（明码）转换成密码，按上述规定，若将英文的明文译成的密码是shxc，那么原来的明文是
love
love
．
已知椭圆C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，点P(b，
a
2
)在椭圆上，其左、右焦点为F1、F2．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若
PF1
•
PF2
=
1
2
，过点S(0，-
1
3
)的动直线l交椭圆于A、B两点，请问在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
现代社会对破译密码的难度要求越来越高，有一处密码把英文的明文（真实名）按字母分解，其中英文a，b，c…，z这26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3…，26这26个正整数．（见下表）
a b c d e f g h i J k l m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n o p q r s t u v w x y z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
用如下变换公式：x'=
x+1
2
，(x∈N，1≤x≤26，x不能被2整除)
x
2
+13，(x∈N，1≤x≤26，x能被2整除)
将明文转换成密码．如：8→
8
2
+13=17，即h变成q：再如：25→
25+1
2
=13，即y变成m；上述变换规则，若将明文译成的密码是live，那么原来的明文是
wqri
wqri
．
（2006•宝山区二模）有一密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中a，b，…，z的26个字母（不论大小写）分别对应着1，2，…，26个自然数，见下表：
a b c d e f g h i j k l m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n o p q r s t u v w x y z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
（x是奇数）（x是偶数）给出如下一个变换公式：x′=
x+1
2
x
2
+13
，如8→
8
2
+13=17，即h变成q．按上述规定，若将明文译成密文是shxc，那么原来的明文是
love
love
．

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