题目内容

 设点动圆P经过点F且和直线相切,记动圆的圆心P的轨迹为曲线W。

   (1)求曲线W的方程;

   (2)过点F作互相垂直的直线,分别交曲线W于A,B和C,D。求四边形ABCD面积的最小值。

   (3)分别在A、B两点作曲线W的切线,这两条切线的交点记为Q。

求证:QA⊥QB,且点Q在某一定直线上。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 解:(1)过点P作PN垂直于直线于点N

依题意得

所以动点P的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线。…………(1分)

即曲线W的方程是………………(2分)

 
(2)依题意,直线l1,l­­­2的斜率存在且不为0,

设直线l1的方程为

l1l2l­­­2的方程为

…………………………(3分)

同理可得……………………(5分)

∴四边形ABCD的面积

当且仅当

故四边形ACBD面积的最小值是72。……………………(7分)

(3)由(1)知W的方程可化为

∵QA的斜率

∴QA⊥QB…………………………(9分)

QA的方程为

QB的方程为

解方程组

即Q(2k,)………………(11分)

当k取任何非零实数时,点Q总在定直线y=上………………(12分)

 

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