题目内容
设点动圆P经过点F且和直线相切,记动圆的圆心P的轨迹为曲线W。
(1)求曲线W的方程;
(2)过点F作互相垂直的直线,分别交曲线W于A,B和C,D。求四边形ABCD面积的最小值。
(3)分别在A、B两点作曲线W的切线,这两条切线的交点记为Q。
求证:QA⊥QB,且点Q在某一定直线上。
【答案】
(2)依题意,直线l1,l2的斜率存在且不为0,
解:(1)过点P作PN垂直于直线于点N
依题意得
所以动点P的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线。…………(1分)
即曲线W的方程是………………(2分)
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设直线l1的方程为
由l1⊥l2得l2的方程为
将
…………………………(3分)
设
∴
同理可得……………………(5分)
∴四边形ABCD的面积
当且仅当
故四边形ACBD面积的最小值是72。……………………(7分)
(3)由(1)知W的方程可化为
∴
∵QA的斜率
∴
∴QA⊥QB…………………………(9分)
QA的方程为
QB的方程为
解方程组
即Q(2k,)………………(11分)
当k取任何非零实数时,点Q总在定直线y=上………………(12分)
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