Question

设点F(0，

3

2

)，动圆P经过点F且和直线y=-

3

2

相切．记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求曲线W的方程；
（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线l₁，l₂，分别交曲线W于A，B和C，D．求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，动圆到定点的距离与到定直线的距离相等，其轨迹为抛物线，写出其方程．
（2）设出l₁的方程y=kx+

3

2

，联立l₁和抛物线的方程，将AB的长度用k表示出来，同理，l₂的方程为y=-

1

k

x+

3

2

，将CD的长度也用k表示出来．再由四边形面积公式S=

1

2

×|AB|•|CD|，算出表达式，再用不等式放缩即得．

解答：解：（Ⅰ）过点P作PN垂直直线y=-

3

2

于点N．
依题意得|PF|=|PN|，
所以动点P的轨迹为是以F(0，

3

2

)为焦点，直线y=-

3

2

为准线的抛物线，
即曲线W的方程是x²=6y
（Ⅱ）依题意，直线l₁，l₂的斜率存在且不为0，
设直线l₁的方程为y=kx+

3

2

，
由l₁⊥l₂得l₂的方程为y=-

1

k

x+

3

2

．
将y=kx+

3

2

代入x²=6y，化简得x²-6kx-9=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9．
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=6(k2+1)，
同理可得|CD|=6(

1

k2

+1)．
∴四边形ACBD的面积S=

1

2

|AB|•|CD|=18(k2+1)(

1

k2

+1)=18(k2+

1

k2

+2)≥72，
当且仅当k2=

1

k2

，即k=±1时，S_min=72．
故四边形ACBD面积的最小值是72．

点评：高考中对圆锥曲线基本定义的考查仍是一个重点，本题中，对于对角线互相垂直的四边形的面积，可用两条对角线长的乘积的

1

2

表示．