题目内容
已知△ABC中，sinA（sinB+| 3 |
| 3 |
分析：把已知条件的左边利用乘法分配律化简，右边由三角形的内角和定理，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化简后，左右两边抵消后，即可求出tanA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，然后利用正弦定理分别表示出AC和AB，利用三角形的周长的求法三边相加，把A的度数代入利用特殊角的三角函数值化简后，提取6，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据B的范围求出B+
的范围，进而得到正弦函数的值域范围，根据正弦函数的值域即可得到三角形周长的范围．
| π |
| 6 |
解答：解：由sinA（sinB+
cosB）=
sinC，
得：sinAsinB+
sinAcosB=
sin[π-（A+B）]=
sin（A+B）=
sinAcosB+
cosAsinB，
即：sinAsinB=
cosAsinB，
得到：tanA=
，又A∈（0，π），得到A=
，
所以sinA=sin
=
，cosA=cos
=
，
根据正弦定理得：
=
=
，
所以AB=
=
=2
sinC；AC=
=
=2
sinB，
则△ABC的周长=AB+AC+BC=2
sinC+2
sinB+3
=2
sin（π-A-B）+2
sinB+3
=2
（sinAcosB+cosAsinB）+2
sinB+3
=2
（
cosB+
sinB）+2
sinB+3
=3cosB+3
sinB+3
=6（
cosB+
sinB）+3
=6sin（B+
）+3
由0＜B＜
，得到
＜B+
＜
，
所以sin（B+
）的值域为（
，1]，
则△ABC的周长的取值范围是（6，9]．
故答案为：（6，9]
| 3 |
| 3 |
得：sinAsinB+
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
即：sinAsinB=
| 3 |
得到：tanA=
| 3 |
| π |
| 3 |
所以sinA=sin
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
根据正弦定理得：
| BC |
| sinA |
| AB |
| sinC |
| AC |
| sinB |
所以AB=
| BCsinC |
| sinA |
| 3sinC | ||||
|
| 3 |
| BCsinB |
| sinA |
| 3sinB | ||||
|
| 3 |
则△ABC的周长=AB+AC+BC=2
| 3 |
| 3 |
=2
| 3 |
| 3 |
=2
| 3 |
| 3 |
=2
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
=3cosB+3
| 3 |
=6（
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=6sin（B+
| π |
| 6 |
由0＜B＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
所以sin（B+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
则△ABC的周长的取值范围是（6，9]．
故答案为：（6，9]
点评：此题考查了诱导公式、两角和的正弦函数公式以及正弦定理，考查了利用三角函数的数学思想求周长的范围，是一道中档题．
练习册系列答案
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已知△ABC中，sinA：sinB：sinC=k：（k+1）：2k （k≠0），则k的取值范围为（ ）
| A、（2，+∞） | ||
| B、（0，2） | ||
C、（
| ||
D、（
|