Question

（2012•郑州二模）选修4一5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-a|+5x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=3时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=3时，f（x）≥5x+1可化为|2x-3|≥1，由此求得不等式f（x）≥5x+1的解集．
（Ⅱ） 由f（x）≤0 得|2x-a|+5x≤0，此不等式化为不等式组

x≥ a 2 2x-a+5x≤0

，或

x＜ a 2 -(2x-a)+5x≤0

．分别求得这两个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）≥5x+1可化为|2x-3|≥1．----------（2分）
由此可得  x≥2 或 x≤1．
故不等式f（x）≥5x+1的解集为 {x|x≥2 或 x≤1{．-------------（5分）
（Ⅱ） 由f（x）≤0 得|2x-a|+5x≤0，此不等式化为不等式组

x≥ a 2 2x-a+5x≤0

，或 

x＜ a 2 -(2x-a)+5x≤0

．------------（7分）
即

x≥ a 2 x≤  a 7

，或 

x＜ a 2 x≤- a 3

．
因为a＞0，所以不等式组的解集为 {x|x≤-

a

3

}，
由题设可得-

a

3

=-1，故 a=3．---------------（10分）

点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．