Question

已知函数（ω＞0）图象的两相邻对称轴间的距离为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）若对任意都有|f（x₁）-f（x₂）|＜m，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）==sin（2ωx-）+，
∵函数图象的两相邻对称轴间的距离为，故 =，∴ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（4x-）+，∵，-≤4x₁-≤，
-≤4x₂-≤，∴当4x-= 时，f（x）最大为 1+=，
当4x-= 时，f（x）最小为-1+=-，故|f（x₁）-f（x₂）|的最大值等于 =2，
故m＞2，实数m的取值范围为（2，+∞）．
分析：（Ⅰ）化简f（x）的解析式为sin（2ωx-）+，根据函数图象的两相邻对称轴间的距离为，故 =，解得ω的值
（Ⅱ）根据角的范围求得f（x）最大值和最小值，得到|f（x₁）-f（x₂）|的最大值等于 2，故m＞2．
点评：本题考查两角差的正弦公式，正弦函数的单调性，周期性，三角函数的最值，求出|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，是
解题的难点．