题目内容
已知函数f(x)=
，关于x的方程f（x-1）=k（其中|k|＜1）的所有根的和为S，则S的取值范围是（ ）
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| A、（-4，-2） |
| B、（-3，3） |
| C、（-1，1） |
| D、（2，4） |
分析：按分段函数所分的区间，求出f（x-1）对应的解析式，解出方程f（x-1）=k的解，求解的和S即可．
解答：解：∵f(x)=
，
∴当x-1≤-1，即x≤0时，f（x-1）=（x-1）+2=k，∴x=k-1；
当-1＜x-1＜1，即0＜x＜2时，f（x-1）=-（x-1）=k，∴x=-k+1；
当x-1≥1，即x≥2时，f（x-1）=（x-1）-2=k，∴x=k+3；
∴方程f（x-1）=k的所有根的和S=（k-1）+（-k+1）+k+3=k+3，
∵|k|＜1，即-1＜k＜1，
∴2＜k+3＜4，
即S的取值范围是：（2，4）；
故选：D．
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∴当x-1≤-1，即x≤0时，f（x-1）=（x-1）+2=k，∴x=k-1；
当-1＜x-1＜1，即0＜x＜2时，f（x-1）=-（x-1）=k，∴x=-k+1；
当x-1≥1，即x≥2时，f（x-1）=（x-1）-2=k，∴x=k+3；
∴方程f（x-1）=k的所有根的和S=（k-1）+（-k+1）+k+3=k+3，
∵|k|＜1，即-1＜k＜1，
∴2＜k+3＜4，
即S的取值范围是：（2，4）；
故选：D．
点评：本题考查了分段函数的解析式的求法与应用问题，是基础题．
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