Question

已知椭圆，A₁、A₂、B是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于椭圆顶点的P、Q两点，且l∥A₂B．若此椭圆的离心率为，且
（I）求此椭圆的方程；
（II）设直线A₁P和直线BQ的倾斜角分别为α、β，试判断α+β是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据椭圆的离心率求得a和c的关系，利用勾股定理求得a和b的关系式，最后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（II）由（I）可值A₂（2，0），B（0，1），利用l∥A₂B，求得直线l的斜率，设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁+x₂，然后分别表示出tanα和tanβ，令二者相加，化简整理求得结果为0，进而可利用正切的两角和公式求得tan（α+β）=0，判断出α+β=π是定值．
解答：解：（I）由已知可得
，求得a=2，b=1
∴椭圆方程为
（II）α+β是定值π．
由（I）A₂（2，0），B（0，1），且l∥A₂B，所以直线l的斜率k=-，
设直线l的方程为y=-x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
，x²-2mx+2m²-2=0
∴△=4m²-4（2m²-2）=8-4m²≥0，即≤m≤

∵P、Q两点不是椭圆的顶点∴、
∴，
又因为，
=
=
∴，又α，β∈（0，π）
∴α+β∈（0，2π）∴α+β=π是定值
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．