Question

已知P点坐标为（2，3），在y轴及直线y=

1

2

x上各取一点R、Q，为使△PQR的周长最小，则Q点的坐标为

(

13

30

，

13

15

)

，R点的坐标为

(0，

13

7

)

．

Answer 1

分析：设点P（2，3）关于直线y=

1

2

x的对称点为P′（m，n），则

3+n 2 = 1 2 • 2+m 2 1 2 × n-3 m-2 =-1

，解得即可得P′．易求P（2，3）关于y轴的对称点P^′′（-2，3），可得kP′P″．直线P′P^″的方程为y-3=-

4

7

(x+2)，令x=0，解得y，得R．联立直线y=

1

2

x与直线P′P^″的方程得Q．

解答：解：如图所示．
设点P（2，3）关于直线y=

1

2

x的对称点为P′（m，n），则

3+n 2 = 1 2 • 2+m 2 1 2 × n-3 m-2 =-1

，解得

m= 18 5 n=- 1 5

．
∴P′(

18

5

，-

1

5

)．
求P（2，3）关于y轴的对称点P^″（a，b），则

a+2 2 =0 b=3

，解得a=-2，b=3，∴P^′′（-2，3），
∴kP′P″=

- 1 5 -3

18 5 +2

=-

4

7

．
∴直线P′P^″的方程为y-3=-

4

7

(x+2)，化为4x+7y-13=0．
令x=0，解得y=

13

7

，得R(0，

13

7

)．
联立

4x+7y-13=0 y= 1 2 x

，解得

x= 13 30 y= 13 15

．∴Q(

13

30

，

13

15

)．
下面证明所求的R(0，

13

7

)，Q(

13

30

，

13

15

)满足题意．
如图所示，△PQR的周长=|P′P^″|．
当R点是y轴上的另一点R′或点Q是另一点Q′时，则△PQ′R′的周长=|P^″R′|+|R′Q′|+|P′Q′|＞|P′P^″|，
因此△PQR的周长=|P′P^″|是最小值．
故答案为Q(

13

30

，

13

15

)，R(0，

13

7

)．

点评：本题考查了点关于直线的对称点的求法、三角形周长最小值问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．