Question

已知直线x+2y-4=0与抛物线y²=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧

AOB

上求一点P，使△PAB面积最大．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出点P的坐标，求出P到直线l的距离的表达式，由不等式特点求面积最大时P的坐标，即可得出结论．

解答： 解：由题意

x+2y-4=0 y2=4x

，化简为y²+8y-16=0，所以y1=-4+4

2

，y2=-4-4

2

，所以x1=12-8

2

，x2=12+8

2

，
设点P（t²，2t），因为P在抛物线的弧

AOB

上
所以-2-2

2

≤t≤-2+2

2

，
又P到直线l的距离为：d=

|t2+4t-4|

5

=

|(t+2)2-8|

5

，t∈[-2-2

2

，-2+2

2

]，
所以t=-2，即P（4，-4）时，P到直线l的距离最大，
即此时△PAB面积最大．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，适当设点的坐标，正确求出P到直线l的距离是关键．