Question

10．如图，过圆O外一点P分别作圆O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，过点A作
PC的平行线交圆O于点D，BD的延长线交直线PA于点Q．
（1）求证：AB²=PB•AD；
（2）若PA=2AQ，AD=$\sqrt{3}$，QD=2．求PC的长．

Answer 1

分析 （1）证明△PAB∽△BDA，可得AB²=PB•AD；
（2）利用PO是圆O的切线，PA=2AQ，可得PB•PC=PA²=4QA²=QD•QB，结合AD=$\sqrt{3}$，QD=2，求PC的长．

解答 （1）证明：∵PO是圆O的切线，AD∥PB，
∴∠PAB=∠BDA，∠APB=∠QAD=∠DBA，
∴△PAB∽△BDA．
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{PB}{AB}$，
∴AB²=PB•AD；
（2）解：∵AD∥PB，PA=2AQ，
∴$\frac{AD}{PB}=\frac{QD}{QB}=\frac{QA}{QB}$=$\frac{1}{3}$
∵AD=$\sqrt{3}$，QD=2，
∴PB=3$\sqrt{3}$，QB=6．
∵PO是圆O的切线，PA=2AQ，
∴PB•PC=PA²=4QA²=QD•QB，
∴PC=$\frac{4QD•QD}{PB}$=$\frac{16}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．