Question

如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD=2x，梯形面积为S．则S的最大值是

32

27

．

Answer 1

分析：建立坐标系，求出抛物线的方程，进而可求梯形的高，从而可求梯形的面积，利用基本不等式即可求得最大值．

解答：解：建立如图所示的坐标系，设抛物线的标准方程为x²=-2py（p＞0）
则B（1，-1），代入抛物线方程可得2p=1，∴抛物线方程为x²=-y
∵CD=2x，∴D（x，-x²）
∴梯形的高为1-x²，梯形的面积为S=（x+1）（1-x²），x∈（0，1）
S=（x+1）（1-x²）=

1

2

（x+1）²（2-2x）≤

1

2

×(

x+1+x+1+2-2x

3

)3=

32

27

，
当且仅当x+1=2-2x，即x=

1

3

时，S的最大值是

32

27

故答案为：

32

27

点评：本题考查函数模型的构建，考查抛物线方程，考查函数的最值，确定梯形的高是关键．