Question

下列说法正确的是

②④

．（只填正确说法的序号）
①若集合A={y|y=x-1}，B={y|y=x²-1}，则A∩B={（0，-1），（1，0）}；
②函数y=log 

1

2

（x²-2x-3）的单调增区间是（-∞，-1）；
③若函数f（x）在（-∞，0），[0，+∞）都是单调增函数，则f（x）在（-∞，+∞）上也是增函数；
④函数y=

1-x2

|x+1|+|x-2|

是偶函数．

Answer 1

分析：根据一次函数和二次函数的定义域，求出A，B，进而求出A∩B，可判断①；根据复合函数单调性“同增异减”的原则，及对数函数和二次函数的性质，可判断②；举出反例，f（x）=

x+1，x＜0 x-1，x≥0

，可判断③；化简函数的解析式，进而根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性后，可判断④

解答：解：∵集合A={y|y=x-1}=R，B={y|y=x²-1}=[-1，+∞），故A∩B=[-1，+∞），故①错误；
函数y=log 

1

2

（x²-2x-3）的定义域为（-∞，-1）∪（3，+∞），
当x∈（-∞，-1）时，t=x²-2x-3为减函数，y=log 

1

2

t为减函数，故函数y=log 

1

2

（x²-2x-3）为增函数
即函数y=log 

1

2

（x²-2x-3）的单调增区间是（-∞，-1），故②正确；
函数f（x）=

x+1，x＜0 x-1，x≥0

在（-∞，0），[0，+∞）都是单调增函数，但在（-∞，+∞）上不具备单调性，故③错误；
函数y=

1-x2

|x+1|+|x-2|

的定义域为[-1，1]，此时函数的解析式可化为y=f（x）=

1-x2

|x+1|+|x-2|

=

1-x2

x+1-x+2

=

1

3

1-x2

∵f（-x）=

1

3

1-x2

=f（x），故函数y=

1-x2

|x+1|+|x-2|

是偶函数，故④正确
故答案为：②④

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的值域，函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质，较为综合的考查，难度中档．