题目内容

（文科）已知函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最大值与单调递增区间；
（2）求使f（x）≥3成立的x的集合．

解：（1）∵函数f（x）= $\text{[math]}$ =1+2sin²x+ $\text{[math]}$ sin2x=1+1-cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x
=2+2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2+2sin（2x- $\text{[math]}$ ）．
故当 sin（2x- $\text{[math]}$ ）=1时，函数f（x）取得最大值为4．
令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
故函数的增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ≤xkπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）由f（x）≥3可得，sin（2x- $\text{[math]}$ ）≥ $\text{[math]}$ ，
∴2kπ+ $\text{[math]}$ ≥2x- $\text{[math]}$ ≥2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
解得kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
故使f（x）≥3成立的x的集合为{x|kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z }．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2+2sin（2x- $\text{[math]}$ ），由此求得它的最大值，由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围，解开得到函数的增区间．
（2）由f（x）≥3可得，sin（2x- $\text{[math]}$ ）≥ $\text{[math]}$ ，故 2kπ+ $\text{[math]}$ ≥2x- $\text{[math]}$ ≥2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，由此求得不等式的解集．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．