Question

已知集合A={2，log₂t}，集合B={x|x²-14x+24≤0}，x，t∈R，且A⊆B．
（1）对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b-a，若A的区间“长度”为3，试求t的值．
（2）某个函数f（x）的值域是B，且f（x）∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用区间长度的定义，求t．
（2）利用概率公式求t的范围．

解答：解：（1）∵A的区间“长度”为3，
∴log₂t-2=3，即log₂t=5，t=32．
（2）由x²-14x+24≤0，得2≤x≤12，∴B=[2，12]
∴B的区间长度为10，设A的区间“长度”为x，因f（x）∈A的概率不小于0.6，所以

x

10

≥0.6，
∴x≥6，即log₂t-2≥6，解得t≥2⁸=256．
又A⊆B，∴log₂t≤12，即t≤2¹²=4096，
所以t的取值范围为[256，4096]（或[2⁸，2¹²]）

点评：本题主要考查区间长度的定义以及应用，正确利用区间长度的应用是解决本题的关键．