题目内容

直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2DCC1中点.

1)求证:直线AB1⊥平面A1BD.

2求二面角A-A1D-B正弦值的大小.

 

1)证明过程详见试题解析;2二面角A-A1D-B正弦值为.

【解析】

试题分析:(1)建立如下图的空间坐标系,要证直线AB1⊥平面A1BD,只需证明

即可.2先求出平面A1AD的一个法向量,再用向量夹角公式求二面角A-A1D-B正弦值.

试题解析:(1)BC中点O,连接AO,

∵△ABC为正三角形,∴AOBC

∵直棱柱ABC-A1B1C1,∴平面ABC⊥平面BCC1B1且相交于BC,

AO⊥平面BCC1B1.B1C1中点O1,OO1BB1,OO1BC.

O为原点,如图建立空间直角坐标系O-xyz,

B(100)D(-110)A1(0,2,)A(0,0,),B1(1,2,0),C(-1,0,0),

∴直线AB1⊥平面A1BD. 6

(2)设平面A1AD的一个法向量为

n=(x,y,z).

z=1n=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.

(1)为平面A1BD的法向量.

∴二面角A-A1D-B正弦值的大小为. 12

考点:空间向量、直线与平面的位置关系.

 

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