Question

设f（x）=lnx
（1）设F(x)=f(x+2)-

2x

x+1

，求F（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²-3m+4对任意x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的解析式，再求出函数的导函数，分别令导函数大于0，小于0，其对应的区间分别为函数f（x）的单调增区间与单调减区间．
（2）首先分离出参数，再令y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])，然后把恒成立问题转化为求最值问题，再利用函数的性质得到函数的单调性，进而求出其最大值，进而求m的取值范围．

解答：解：（1）由题意可得：F(x)=ln(x+2)-

2x

x+1

，
所以函数的定义域为：（-2，-1）∪（-1，+∞），
所以F′(x)=

1

x+2

-

2(x+1)-2x

(x+1)2

=

1

x+2

-

2

(x+1)2

=

(x+1)2-2(x+2)

(x+2)(x+1)2

=

x2-3

(x+2)(x+1)2

，
令F'（x）＞0，得单调增区间：（-2，-

3

)和(

3

，+∞）；
令F'（x）＜0，得单调减区间：(-

3

，-1）和（-1，

3

)，
所以F（x）的单调增区间为：（-2，-

3

)和(

3

，+∞）；单调减区间为：(-

3

，-1）和（-1，

3

)．
（2）不等式f（x+1）≤f（2x+1）-m²-3m+4化为：ln（x+1）≤ln（2x+1）-m²-3m+4，
即整理可得：ln

x+1

2x+1

≤-m2-3m+4．
设y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])，
所以只需求y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])的最大值≤-m²-3m+4即可，
因为

x+1

2x+1

=

1

2

+

1

2(2x+1)

在[0，1]上单调递减，
所以y=ln

x+1

2x+1

在x∈[0，1]上单调递减，
所以y=ln

x+1

2x+1

(x∈[0，1])在x=0处取得最大值0，
于是得到-m²-3m+4≥0即：m²+3m-4≤0，
解得：-4≤m≤1
∴m的取值范围是：[-4，1]．

点评：本题考查利用导数研究函数的性质，如单调性与函数的最值，以及不等式的恒成立问题与最值问题的相互转化，解题时要认真审题，仔细解答．