Question

关于函数f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，有下列命题
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；
③f（x）的最小值是lg2；
④f（x）在区间（-1，0）、（2，+∞）上是增函数；
⑤f（x）无最大值，也无最小值
其中所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

分析：①判断函数是否为偶函数即可．
②将复合函数转化为两个基本函数，令t=x+

1

x

（x＞0），易知在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数．
③因为t=x+

1

x

≥2（x＞0），再由偶函数，可知正确．
④当-1＜x＜0或x＞1时函数t=x+

1

x

是增函数，再根据复合函数判断．
⑤用③来判断．

解答：解：①定义域为R，又满足f（-x）=f（x），所以函数y=f（x）的图象关于y轴对称，正确．
②令t=x+

1

x

（x＞0），在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，不正确．
③t=x+

1

x

≥2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确．
④当-1＜x＜0或x＞1时函数t=x+

1

x

是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确．
⑤由③知，不正确．
故答案为：①③④

点评：本小题主要考查对数函数的单调性与特殊点、对数函数的值域与最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．