题目内容

关于函数f(x)=lg
x2+1|x|
(x≠0)
,有下列命题
①其图象关于y轴对称;
②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)是减函数;
③f(x)的最小值是lg2;
④f(x)在区间(-1,0)、(2,+∞)上是增函数;
⑤f(x)无最大值,也无最小值
其中所有正确结论的序号是
 
分析:①判断函数是否为偶函数即可.
②将复合函数转化为两个基本函数,令t=x+
1
x
(x>0),易知在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.
③因为t=x+
1
x
≥2(x>0),再由偶函数,可知正确.
④当-1<x<0或x>1时函数t=x+
1
x
是增函数,再根据复合函数判断.
⑤用③来判断.
解答:解:①定义域为R,又满足f(-x)=f(x),所以函数y=f(x)的图象关于y轴对称,正确.
②令t=x+
1
x
(x>0),在(0,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,不正确.
③t=x+
1
x
≥2,又是偶函数,所以函数f(x)的最小值是lg2,正确.
④当-1<x<0或x>1时函数t=x+
1
x
是增函数,根据复合函数知,f(x)是增函数,正确.
⑤由③知,不正确.
故答案为:①③④
点评:本小题主要考查对数函数的单调性与特殊点、对数函数的值域与最值等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于基础题.
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