题目内容

已知平面内三个已知点A（1，7），B（0，0），C（8，3），D为线段BC上的一点，且有 $数学公式$ ，求点D的坐标．

解：由已知 $\text{[math]}$ ，因为点D在线段BC上，所以， $\text{[math]}$ ，
又因为B（0，0），所以，D（8λ，3λ），所以， $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，所以， $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，所以， $\text{[math]}$ ，
即14-73λ=0，λ= $\text{[math]}$ ，
所以， $\text{[math]}$
分析：利用三点共线设出 $\text{[math]}$ 的坐标，进而得到D的坐标，以及 $\text{[math]}$ 的坐标，由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，解出点D的坐标．
点评：本题考查三点共线时，向量的表示，两个向量坐标形式的运算，以及两个向量垂直时数量积等于0．

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已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足

，则点P与△ABC的关系为（　　）

A、P在△ABC内部

B、P在△ABC外部

C、P在AB边所在直线上

D、P是AC边的一个三等分点

12、给定下列四个命题：
（1）给定空间中的直线l及平面α，“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的充分不必要条件；
（2）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；
（3）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；
（4）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB₁C₁C的中心，则AD与平面BB₁C₁C所成角的大小是60°．
上述命题中，真命题的序号是（　　）

A、（1）（2）

B、（2）（4）

C、（2）（3）（4）

D、（1）（2）（3）（4）

已知点A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若

)，λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定过△ABC的（　　）

如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的东北方向20

km处，B岛在O岛的正东方向10km处．
（1）以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，1km为单位长度，建立平面直角坐标系，试写出A、B的坐标，并求A、B两岛之间的距离；
（2）已知在经过O、A、B三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30°方向距O岛20km处，正沿东北方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

（2012•福建模拟）已知F₁（-1，0），F₂（1，0）为平面内的两个定点，动点P满足|PF1|+|PF2|=2

，记点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且

．
（ⅰ）试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论；
（ⅱ）当直线AB过点F₁时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．